PARCIAL II
POLIGONOS Y SU CLASIFICACION
Un polígono es una figura plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que cierran una región en el plano. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersecan se llaman vértices. El interior del polígono es llamado área. .
Un polígono está conformado por una línea poligonal, es decir, el conjunto ordenado de segmentos.
ELEMENTOS DE UN POLÍGONO
En un polígono se pueden distinguir los siguientes elementos geométricos:
-Lado (L): Es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.
-Vértice (V): Es el punto de intersección (punto de unión) de dos lados consecutivos.
-Diagonal (d): Es el segmento que une dos vértices no consecutivos
-Perímetro (P): Es la suma de las longitudes de todos los lados del polígono.
-Semiperímetro (SP): Es la mitad del perímetro.
-Ángulo interior (AI): Es el ángulo formado internamente por dos lados consecutivos.
-Ángulo exterior (AE): Es el ángulo formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.
Y SI ES REGULAR:
-Centro (C): Es el punto equidistante de todos los vértices y lados.
-Ángulo central (AC): Es el formado por dos segmentos de recta que parten del centro a los extremos de un lado.
-Apotema (a): Es el segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado.
, en un polígono de
-Intersecciones de diagonales 
, en un polígono de 
vértices.
, en un polígono de vértices.
CLASIFICACIÓN:
Se pueden clasificar según:
-Numero de lados
-Sus ángulos:
Cóncavos: Alguno de sus ángulos mide >180°
Convexos: Todos sus ángulos son <80°
-Su forma:
Regulares: Con todos sus lados y ángulos iguales
Irregulares: Con sus lados, angulos y diagonales desiguales.
ÁREAS DE UN POLIGONO
El área de una figura corresponde a la medida de la superficie que dicha figura ocupa. El cálculo del
área se realiza de forma indirecta, es decir, hay que recurrir a diferentes fórmulas matemáticas para conocerla, no podemos medirla como hacemos con las longitudes (con regla podemos "leer" directamente la
longitud de un segmento).
Áreas de cuadriláteros
El cálculo del área de un cuadrilátero, en el caso de rectángulos, cuadrados y romboides, es muy sencilla.
• Área de un rectángulo. Se obtiene multiplicando la base por la altura: A = base x altura.
• Área de un cuadrado. A = lado x lado = lado2
.
• Área de un romboide. Se obtiene a partir del área del rectángulo, multiplicando la base por la
altura del romboide (no por el oro lado). A = base x altura.
• Área de un rombo. A partir de un rombo se puede construir un rectángulo como se puede observar en el gráfico de la izquierda. La base coincide con una de las diagonales y la altura con la
mitad de la otra: Diagonal mayor x diagonal menor/2
Área de un trapecio. Si se coloca el mismo trapecio invertido como se muestra en la figura de la izquierda, se obtiene un romboide. El área de este romboide es el doble del área del trapecio. La base del romboide es la suma de las bases de los trapecios y la altura del romboide coincide con la altura del
trapecio.A=(base mayor+base menor)(altura)/2
Area del triangulo: El área de un triángulo es igual al producto de su base por su altura dividido entre dos.
Area de poligonos regulares: El área de un polígono regular es igual al producto de su perímetro por su apotema dividido entre dos.
PROBLEMAS:
1.- calcula
:
a) el area de un cuadrado de 5 de lado
R=25
b) el area de un rectangulo de 6x5
R= 30
c) al area de un hexagono cuyo lado es 5
a= 4.33
A= 30x4.33/2
A= 64.95
ÁNGULOS Y DIAGONALES EN POLÍGONOS CONVEXOS
En un polígono se contemplan dos tipos de ángulos: los interiores y los
exteriores. Los interiores son los formados por cada dos lados contiguos y los exteriores son sus suplementarios
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante llamada radio.
La circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.
PERÍMETRO Y ÁREA
LUGARES GEOMÉTRICOS DE LA CIRCUNFERENCIA
Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
Centro: El punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia
Radio: El radio de una circunferencia es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. El radio mide la mitad del diámetro.El radio es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre 2π.
Diámetro: El diámetro de una circunferencia es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro mide el doble del radio. El diámetro es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre π
Cuerda: La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. El diámetro es la cuerda de longitud máxima.
Recta secante: Es la línea que corta a la circunferencia en dos puntos
Recta tangente: Es la línea que toca a la circunferencia en un sólo punto
Punto de Tangencia: El de contacto de la recta tangente con la circunferencia
Arco: El arco de la circunferencia es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Un arco de circunferencia se denota con el símbolo sobre las letras de los puntos extremos del arco.
Semicircunferencia: Cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.
Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:
Exterior: Si no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del centro a la recta es mayor que la longitud del radio.
Tangente: Si la toca en un punto (el punto de tangencia o tangente) y la distancia del centro a la recta es igual a la longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro.
Secante: Si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos distintos y la distancia del centro a la recta es menor a la longitud del radio.
Segmento circular: Es el conjunto de puntos de la región circular comprendida entre una cuerda y el arco correspondiente
TEOREMAS DE ÁNGULOS
Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:
Ángulo central: Si tiene su vértice en el centro de esta. Sus lados contienen a dos radios.
La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
Ángulo inscrito: Si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.
La amplitud de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco formado.
Ángulo semi-inscrito: Si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
Ángulo interior: Si su vértice está en el interior de la circunferencia. La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.
Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia la amplitud de un arco exterior es la mitad de la diferencia de los arcos interceptados.
EJERCICIOS:
CALCULA:
a) La medida de un angulo exterior si la amplitud del arco que forma es de 150°
R=150/2= 75°
b) La medida del arco formado por un angulo inscrito si el angulo mide 100°
R= 100x2= 200°
c) La medida de un angulo interior si la suma de los arcos que forma es de 70°
R= 70/2= 35°
d) La medida del arco mayor que forma un angulo externo de 30° si el arco menor es de 20°
R=
30°= x-20/2
x=30(2
exteriores. Los interiores son los formados por cada dos lados contiguos y los exteriores son sus suplementarios
Los ángulos interiores de cualquier triángulo, que es 180º. Como cualquier polígono se puede dividir en triángulos se podrá calcular cuál es la suma total en cada caso.
ÁNGULOS INTERIORES
Un polígono de n lados se puede descomponer en n-2 triángulos y, por tanto, la suma de los ángulos interiores será: 180º·(n-2). Si el polígono es regular el valor de uno de los ángulos interiores es: 180(n-2)/n.
ÁNGULOS EXTERIORES
La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es 360º. Teniendo en cuenta que el ángulo interior y el exterior suman 180º, en un polígono de n lados los interiores y los exteriores sumaran, en total, n·180º, como los interiores suman 180º·(n-2) los exteriores suman 360º
ANGULO CENTRAL
El polígono inscrito en una circunferencia el ángulo central se corresponde al que forman dos radios consecutivos del polígono. La medida de todos los ángulos centrales es de 360º, la misma que la de los ángulos exteriores y para calcular la medida de cada angulo central dividimos 360°/NL.
NUMERO DE DIAGONALES:
ND=N(N-3)/2
PROBLEMAS:
1.- ¿Cuanto medirá el angulo central de un hexágono?
360/6= 60°
2.-¿cuanto medirá el angulo interior de un polígono de 5 lados?
180(5-2)/5?= 108°
3.- ¿Cuanto medirá el angulo exterior de un octágono?
180(8-2)/8= 135°
180°-135°= 45°
LA CIRCUNFERENCIA Y SUS LUGARES GEOMÉTRICOS Y ANGULOS
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante llamada radio.
La circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.
PERÍMETRO Y ÁREA
LUGARES GEOMÉTRICOS DE LA CIRCUNFERENCIA
Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
Centro: El punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia
Radio: El radio de una circunferencia es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. El radio mide la mitad del diámetro.El radio es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre 2π.
Diámetro: El diámetro de una circunferencia es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro mide el doble del radio. El diámetro es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre π
Cuerda: La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. El diámetro es la cuerda de longitud máxima.
Recta secante: Es la línea que corta a la circunferencia en dos puntos
Recta tangente: Es la línea que toca a la circunferencia en un sólo punto
Punto de Tangencia: El de contacto de la recta tangente con la circunferencia
Arco: El arco de la circunferencia es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Un arco de circunferencia se denota con el símbolo sobre las letras de los puntos extremos del arco.
Semicircunferencia: Cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.
Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:
Exterior: Si no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del centro a la recta es mayor que la longitud del radio.
Tangente: Si la toca en un punto (el punto de tangencia o tangente) y la distancia del centro a la recta es igual a la longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro.
Secante: Si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos distintos y la distancia del centro a la recta es menor a la longitud del radio.
Segmento circular: Es el conjunto de puntos de la región circular comprendida entre una cuerda y el arco correspondiente
TEOREMAS DE ÁNGULOS
Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:
Ángulo central: Si tiene su vértice en el centro de esta. Sus lados contienen a dos radios.
La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
Ángulo inscrito: Si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.
La amplitud de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco formado.
Ángulo semi-inscrito: Si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
Ángulo interior: Si su vértice está en el interior de la circunferencia. La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.
Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia la amplitud de un arco exterior es la mitad de la diferencia de los arcos interceptados.
EJERCICIOS:
CALCULA:
a) La medida de un angulo exterior si la amplitud del arco que forma es de 150°
R=150/2= 75°
b) La medida del arco formado por un angulo inscrito si el angulo mide 100°
R= 100x2= 200°
c) La medida de un angulo interior si la suma de los arcos que forma es de 70°
R= 70/2= 35°
d) La medida del arco mayor que forma un angulo externo de 30° si el arco menor es de 20°
R=
30°= x-20/2
x=30(2
VOLUMENES
Es una magnitud derivada de la longitud, ya que se halla multiplicando la longitud, el ancho y la altura. Desde un punto de vista físico, los cuerpos materiales ocupan un volumen
Cada figura tiene su formula para obtener un volumen y pueden ser las siguientes:
PROBLEMAS
Calcula:
a) El volumen de una esfera de 3 cm de radio
R= 4/3 pi x 3(3)
R= 37.7 cm3
b)El volumen de un tetredro cuyo lado mide 5cm
R= 5 al cubo por la raiz cuadrada de 2 / 12
R=14.73cm3
c) calcula el area de un prisma cuadrangular cuyo lado de la base mide 3 cm y la altura del prima 10cm
R=(3x3)(10)
R= 90 cm3
Cada figura tiene su formula para obtener un volumen y pueden ser las siguientes:
PROBLEMAS
Calcula:
a) El volumen de una esfera de 3 cm de radio
R= 4/3 pi x 3(3)
R= 37.7 cm3
b)El volumen de un tetredro cuyo lado mide 5cm
R= 5 al cubo por la raiz cuadrada de 2 / 12
R=14.73cm3
c) calcula el area de un prisma cuadrangular cuyo lado de la base mide 3 cm y la altura del prima 10cm
R=(3x3)(10)
R= 90 cm3
