BLOQUE 1

ANGULOS , TRIANGULOS Y RELACIONES GEOMETRICAS.

 

1.-ANGULOS

Se le llama "ángulo" a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.

Los angulos se pueden medir por:

• Radian
• Grado sentecimal
• Grado sexagesimal

Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniometro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.

CLASIFICACION DE ANGULOS
Los ángulos se pueden clasificar de distinta manera y tomando en cuenta distintas características.

*POR LA AMPLITUD DE SUS LADOS

Agudo (menos de 90 grados)

Recto (90 grados)

Obtuso (más de 90 grados)

Llano (180 grados)

Entrante: (entre 180° y 360°)

Completo (360 grados)

Convexo o saliente (entre 0 y 180 grados)

Cóncavo (entre 180 y 360 grados)

* POR LA SUMA DE SUS MEDIDAS

Complementarios (Suman 90°)

Suplementarios (Suman 180°)

* POR EL SENTIDO DE SU GIRO

Positivo y negativo.

 

TEOREMAS DE ANGULOS ENTRE PARALELAS.

Ángulos entre paralelas. Al cortar dos rectas paralelas con una secante se forman ocho ángulos, los cuales se clasifican por parejas de acuerdo con la posición que tienen con la secante.

De acuerdo a la ubicación de los mismos se clasifican en:

• Ángulos interiores: Están ubicados en la zona comprendida entre las rectas paralelas.

• Ángulos exteriores: Los ángulos que no son interiores se denominan ángulos exteriores. 

Entre ellos se encuentran los ángulos alternos entre paralelas, los correspondientes entre paralelas y los onjugados entre paralelas

Alternos entre paralelas

Los ángulos alternos entre paralelas son:

• Los que Tienen vértices diferentes.
• Se encuentran a diferentes lados de la secante.
• Ambos son internos o ambos son externos.

Los ángulos alternos pueden ser alternos Internos o alternos externos.
teorema
Si dos rectas paralelas es cortada por una secante, entonces los ángulos alternos son iguales.
Recíproco
Si dos ángulos alternos son iguales entonces las rectas que lo forman son paralelas

Correspondientes entre paralelas

Los ángulos Correspondientes entre paralelas son:

• Los que Tienen vértices diferentes.
• Se encuentran a un mis lado de la secante.
• Uno interno y el otro externo.

teorema
Si dos rectas paralelas es cortada por una secante, entonces se forman ángulos correspondientes iguales.
Recíproco
Si dos rectas cortadas por una tercera forman ángulos correspondientes iguales, las rectas son paralelas.

Conjugados entre paralelas

 

Los ángulos Conjugados entre paralelas son:

• Los que Tienen vértices diferentes.
• Se encuentran a un mis lado de la secante.
• Ambos son interno o ambos son externos.

Los ángulos Conjugados pueden ser conjugados Internos o conjugados externos.
teorema

• Si dos rectas paralelas es cortada por una secante, entonces se forman ángulos Conjugados suplememntarios.

Recíproco
Si dos rectas cortadas por una tercera forman ángulos Conjugados suplememntarios, las rectas son paralelas.

 

 

 

 

 

 2.- TRIANGULOS

Es un polígono determinado por tres segmentos que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados, es decir: no colineales).

todos los triángulos cuentan con estas 3 propiedades:
1.- Uno de los lados del triangulo siempre es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia,
2.- La suma de los ángulos interiores es igual a 180°
3.- Un ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a el.

 

 

 

PUNTOS NOTABLES DE LOS TRIANGULOS

 

 Todo triángulo cuenta con tres ángulos y tres lados.

La altura de un triangulo es el segmento perpendicular trazado desde uno de los vértices al punto opuesto, un triángulo cuenta con tres alturas y a la unión de estas se les denomina ortocentro.

La mediana es el segmento trazado de uno de los vértices al punto medio del lado opuesto, un triangulo tiene tres medianas que se cortan

en el baricentro.

Se llama mediatriz al segmento PERPENDICULAR al lado de un triángulo por su punto medio.

todo triangulo cuenta con tres mediatrices que se cortan en un punto medio llamado circuncentro.

Se trata de una semirrecta que partiendo del vértice divide al ángulo en dos partes iguales.

Podemos decir también que cada punto de la bisectriz, equidista (está a igual distancia) de los lados del ángulo. Un triangulo tiene 3 bisectrices y el punto donde estas se unen se llama incentro.

 

 

 

 

CLASIFICACION DE LOS TRIANGULOS

Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos

 

POR SUS ANGULOS:

Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:

• Como triángulo equilátero, cuando los tres lados del triángulo son del mismo tamaño (los tres ángulos internos miden 60 grados ó radianes.)

• Como triángulo isósceles (del griego ἴσος "igual" y σκέλη "piernas", es decir, "con dos piernas iguales"), si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales ).

• Como triángulo escaleno (del griego σκαληνός "desigual"), si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).

POR SUS LADOS:
Por la amplitud de sus ángulos los triángulos se clasifican en:

• Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
• Triángulo oblicuángulo: cuando ninguno de sus ángulos interiores son rectos (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.
• Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°).
• Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°.

	TEOREMAS DE LOS TRIANGULOS 1.en todo triangulo las medidas de sus angulos interiores suman 180°.   2.- Entodo triángulos, la medida de un angulo externo,es la suma de las medidas de los angulos internos no contiguos   3.- para todo triangulo la suma de las medidas de los angulos externos, uno en cda vértice es igual a 360°.    3.- RECTA DE EULER  La recta de Euler tiene una particularidad, y es que contiene al ortocentro, al circuncentro y al baricentro, al punto de Exeter y al centro de los nueve             puntos notables de un triángulo no equilátero. Se llama así en honor al matemático suizo Leonhard Euler, quien lo demostró en el siglo XVIII en el año 1765. Euler demostro que en cualquier triangulo estos puntos son colineales. Esta propiedad es también cierta para el centro de los nueve puntos notables;  que Euler no había demostrado para ese tiempo. En los triángulos equiláteros, estos cuatro puntos coinciden, pero en cualquier otro triángulo no lo hacen, y la recta de Euler está determinado por dos cualesquiera de ellos. El centro del círculo de los nueve notables puntos se encuentra a mitad de camino a lo largo  de la línea de Euler entre el ortocentro y el circuncentro , y la distancia desde el centroide de la circuncentro es un medio que desde el centroide hasta el ortocentro. Otros puntos destacados que se encuentran en la recta de Euler son el punto de Longchamps , el punto Schiffler , el punto de Exeter y el punto far-out. Sin embargo, el incentro se encuentra en la recta de Euler sólo para triángulos isósceles.    4.- MEDIDION DE ANGULOS Y SISTEMA SEXAGESIMAL  Medir un angulo es compararlo con otro que se toma como unidad. La unidad que se toma con mas frecuencia es el grado, que es la unidad de medida angular del sistema sexagesimal.  Los ángulos comúnmente se miden en el sentido contrario a las manecillas del reloj. SISTEMA SEXAGESIMAL Se le llama grado sexagesimal a la medida del angulo que resulta de dividir a la circunferencia en 360 partes iguales. La medida de un angulo no depende de la longitud de sus lados, sino de la abertura entre estos existen dos métodos para poder expresar los ángulos con mayor precisión: el sistema decimal que consiste en simplemente dar decimales de grado (145.5°,67.25°...) y el sistema sexagesimal que consiste en dividir el grado en 60 partes denominadas minutos ( ' )  y el minuto en 60 partes iguales denominadas segundos ( '' ). * Suma y resta de ángulos: Para sumar o restar ángulos, podemos hacerlo de manera geométrica, es decir juntando los dos ángulos y midiéndolos posteriormente o bien de manera algebraica que es cuando sumamos los segundos con los segundos (si estos exceden los 60'' se suman a la columna de los minutos, donde también si exceden los 60' se suman a los grados. Ejemplos:     12° 24' 16'' +  34° 26' 25'' -------------------- 46° 50' 41''    132° 34' 17'' -   44° 26' 25''  --------------------- 88° 7' 52''  SISTEMA CIRCULAR O CÍCLICO Utiliza al radian como unidad principal y representa el angulo central de una circunferencia que subtiene un carco cuya longitud es igual a la del radio (su simbolo es rad. y 1 rad equivale a 180°/π).   BLOQUE II LA CONGRUENCIA DE TRIANGULOS 5.-TEOREMAS DE TRIANGULOS CONGRUENTES Se dice que un triangulo es congruente a otro cuando cumplen con tener la misma forma y tamaño. y en simbología matemática la congruencia se representa con  .      CRITERIOS DE CONGRUENCIA Los criterios de congruencia corresponden a los postulados  y teoremas que enuncian cuales son las condiciones minimas que deben reunir dos o mas triángulos para que sean congruentes. Estas son: congruencia de sus lados congruencia de sus angulo. para que dos triángulos sean congruentes , es suficiente que solo algunos lados y / o angulos sean iguales. los postulados o criterios básicos de congruencia de triángulos son: postulado LAL: dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el angulo determinado por ellos respectivamente iguales. Postulado ALA : Dos triángulos son congruentes si tienen dos angulos y un lado común a ellos, respectivamente iguales. Postulado LLA: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales dos lados y el angulo opuesto al mayor de ellos.   Postulado LLL: dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales. BLOQUE III SEMEJANZA DE TRIANGULOS  Y TEOREMA DE PITAGORAS.  6.- TEOREMAS DE TRIANGULOS SEMEJANTES       Dos triángulos son semejantes si cumplen alguna de las siguientes propiedades:   a) Todos sus lados son proporcionales     Vemos que los lados del ejemplo guardan la misma proporción: Lado A / Lado A’ = 6 / 3 = 2 Lado B / Lado B’ = 6,4 / 3,4 = 2 Lado C / Lado C’ = 5 / 2,5 = 2   b) Tienen los tres ángulos iguales     Estos dos ángulos tienen los tres ángulos iguales.   c) Un ángulo igual y los dos lados que se inician en dicho vértice son proporcionales     Estos dos ángulos tienen el ángulo C igual (30º) y los dos lados que se inician en dicho vértice son proporcionales. Lado A / Lado A’ = 8 / 4 = 2 Lado B / Lado B’ = 9 / 4,5 = 2   d) Dos triángulos en posición de Tales son semejantes     TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS SEMEJANTES Dos triángulos rectángulos son semejantes si cumplen alguna de las siguientes propiedades:   a) Tienen un ángulo agudo igual y uno de los catetos proporcionales     En ambos triángulos un lado agudo mide 40º. Como el ángulo recto mide 90º, el otro ángulo agudo tiene que medir 50º ya que en cualquier triángulo la suma de sus tres ángulos siempre es 180º. Por lo tanto los tres ángulos son iguales, que ya vimos antes que era uno de los requisitos para que dos triángulos fueran semejantes.   b) Tienen los dos lados catetos proporcionales     Lado A / Lado A’ = 4 / 2 = 2 Lado B / Lado B’ = 7 / 3,5 = 2 Al tener los dos lados catetos proporcionales, como el ángulo recto que forman mide 90º, cumple uno de los requisitos que vimos para que dos triángulos fueran semejantes.   c) Tienen un cateto y la hipotenusa proporcionales     Lado A / Lado A’ = 8 / 6 = 1,33 Lado B / Lado B’ = 4 / 3 = 1,33 Aplicando el Teorema de Pitágoras podemos calcular la longitud de los catetos que desconocemos. Calculamos su proporción: Lado C / Lado C’ = 6,928 / 5,196 = 1,33 Luego todos los lados son proporcionales que vimos que era uno de los requisitos para que dos triángulos fueran semejantes.   7.- TEOREMA DE THALES DE MILETO   Cuando en geometría hablemos del Teorema de Tales (o Thales), debemos aclarar a cuál nos referimos ya que existen dos teoremas atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C. El primero de ellos se refiere a la construcción de un triángulo que sea semejante a otro existente (triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos). Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (los circuncentros se encuentran en el punto medio de su hipotenusa). Primer teorema Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que: Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes. Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo: Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC. Lo que se traduce en la fórmula      ejemplo: En el triágulo de la derecha, hallar las medidas de los segmentos a y b. Apicamos la fórmula, y tenemos Segundo teorema El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado: Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el ángulo ABC, es recto. Este teorema (véase figuras  1 y 2), es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia. Figura 1. Ilustración del enunciado del segundo teorema de Tales de Mileto. Figura 2. Siempre que AC sea un diámetro, el ángulo B será constante y recto.   8.- TEOREMAS DE PITAGORAS Hace años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos:   Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)... ... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces... ... ¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos! El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es: En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto) Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²): a2 + b2 = c2   Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería funcionar. Veamos si las áreas son la misma: 32 + 42 = 52 Calculando obtenemos: 9 + 16 = 25 ¡sí, funciona!   Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. (¡Pero recuerda que sólo funciona en triángulos rectángulos!)   Escríbelo como una ecuación: a2 + b2 = c2   Ahora puedes usar álgebra para encontrar el valor que falta, como en estos ejemplos:   a2 + b2 = c2 52 + 122 = c2 25 + 144 = 169 c2 = 169 c = √169 c = 13 a2 + b2 = c2 92 + b2 = 152 81 + b2 = 225 Resta 81 a ambos lados b2 = 144 b = √144 b = 12